一、非线性振动、非线性波与Jacobi椭圆函数（论文文献综述）
梁建莉[1]（2021）在《关于几类非线性波方程的精确行波解研究》文中研究说明本文利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了几类具有物理意义的非线性波方程的精确行波解.这些方程包括广义二分量peakon型对偶方程、旋转Camassa-Holm方程、一类非局域流体动力学方程以及分数阶mKdV方程.本文详细分析了这些非线性波方程对应的行波系统的动力学性质,以及其随参数而改变的分支行为,并借助椭圆函数等工具,通过复杂计算获得了丰富的精确行波解.本文共分七章,具体安排如下:第一章绪论,介绍了孤立子理论的发展历史,介绍了几种重要的非线性波方程的求解方法.阐明了本文的主要研究内容和研究成果.第二章介绍了与本文相关的一些基础知识,包括动力系统与微分方程,奇非线性波方程的动力系统方法.第三章研究了两个广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解,其中一个方程包含了着名的二分量Camassa-Holm方程.利用动力系统方法和奇行波方程理论,将两个方程约化为同一个平面动力系统.通过对奇异行波系统进行定性分析,画出它的相图分支,并得到了尽可能多的精确行波解,包括孤立波解、孤立尖波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解等.经过综合对比和分析,发现这些行波解的分布遵循一定的规律.第四章研究了旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解.旋转Camassa-Holm方程包含了着名的Camassa-Holm方程,是广义Camassa-Holm方程的一个特例.利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了具有五个参数的参数空间中,在不同参数条件下的相图分支问题.得到了光滑孤立波解、周期波解、孤立尖波解、周期尖波解以及破缺波解及其精确表示.另外,从每组相图中都可以清楚地看到奇直线对相图的变化及分支的产生具有很大影响.第五章研究了一类非局域流体动力学方程的分支和精确行波解.通过动力系统方法和奇行波方程理论,获得了方程的各种精确行波解,包括光滑孤立波解、不可数无穷多孤立波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解、扭波和反扭波解等.其中不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解是我们得到的新解.特别地,不可数无穷多孤立波解与一般光滑孤立波解不同.在高阶平衡点处出现的不可数无穷多同宿轨对应着不可数无穷多孤立波解,是一种非常奇特的现象.第六章研究了具有conformable分数阶导数的mKdV方程的分支和精确行波解.通过行波变换,将分数阶偏微分方程化为依赖于分数阶数α的常微分方程.然后利用动力系统方法分析相应行波系统的相图分支,得到了原系统的精确行波解,包括光滑孤立波解、周期波解、扭波与反扭波解.通过分析发现,分数阶mKdV方程的解具有一般mKdV方程解的基本形式,而且其波宽和波幅依赖于分数阶数α.第七章对本文所做工作进行总结,列出几个需进一步探讨的问题.
陈琼[2]（2021）在《基于温度效应的无限长压电圆杆孤波分析》文中认为压电元件因其在传感器、换能器和一些微型智能结构中的应用而被广泛地考虑。然而,在航空、航天及自动化领域,一些相关设备的工作环境恶劣,容易受到温度变化的影响,这极大地影响了控制的实施。为此,通过建模和数值分析,研究了压电圆杆在不同温度场下的非线性波动问题。首先,在极坐标系下,基于有限变形理论,以无限长压电圆杆为研究对象,考虑了在热电耦合作用下横向惯性和等效泊松比的影响。利用哈密顿原理,引入欧拉方程,得到压电圆杆的纵波方程。其次,分别利用Jacobi椭圆余弦函数、Jacobi椭圆正弦函数和扩展的Sinh-Gordon展开法求解压电圆杆的波动方程,得到了波动方程的孤立波解、精确周期解、双曲函数表示的孤波解和三角函数表示的精确行波解。发现波动方程的周期解在一定条件下可以实现与孤波解的相互转换,从理论上证明了压电圆杆中可能存在稳定传播的孤立波,同时也丰富了波动方程解的多样性。最后,利用Matlab软件对Jacobi椭圆函数法和扩展的Sinh-Gordon展开法求得的结果分别进行了数值模拟,得到了不同波速比的频散曲线以及温度场对压电圆杆波形、幅值和波数的影响曲线。数值结果表明:当波速比一定时,波速随温度的升高而减小;在温度一定的情况下,可以发现随着比值的增加,孤立波的振幅逐渐增大,而波长逐渐减小。另外,所获得的图像表明,虽然温度变化会导致孤波特性发生一定的变化,但孤波在传播过程中始终是对称的钟形波,反映了非线性和色散共同作用下的稳定性特性。因此,温度场的变化可以影响和控制孤立波的某些传播特性。此外,波动理论由于其特殊的稳定性,已被广泛应用于结构无损检测和提高信息传输质量。
赵希宁,杨晓东,张伟[3]（2021）在《含电学边界的压电层合梁的非线性弯曲波》文中研究指明非线性科学己成为近代科学发展的一个重要标志,特别是非线性动力学和非线性波的研究对于解决自然科学各领域中遇到的复杂现象和问题有着极其重要的意义.本文研究了含电学边界条件的压电层合梁的非线性弯曲波传播特性.首先,考虑几何非线性效应和压电耦合效应,利用哈密顿原理建立了一维无限长矩形压电层合梁弯曲波的非线性方程.其次,采用Jacobi椭圆函数展开法对非线性弯曲波方程进行求解,得到了非线性弯曲波动方程在近似情况下对应的冲击波解和孤波解.最后,利用约化摄动法得到了非线性薛定谔方程,进一步得到了亮孤子和暗孤子解.基于两种方法具体研究了外加电压、压电层厚度等参数对冲击波和孤立波以及亮孤子和暗孤子特性的影响.研究结果表明,在波速较小时,外加电压对冲击波的影响较大,波速较大时,外加电压对孤立波影响减弱.通过调整作用在压电层合梁上的电压发现了存在亮孤子和暗孤子,分析结果表明随着外加电压值的增大,亮孤子和暗孤子的振幅都增大.
杨佼朋[4]（2020）在《高次b方程的非线性波解与分支问题研究》文中研究指明本文运用动力系统分支理论系统地研究了高次b方程的非线性波解与分支问题,分别获得了该方程在b=0、b>1、b<-1三种情形和特定参数条件下的分支相图,行波解的定性行为及其表达式.分析这类方程的主要难点在于方程具有高次非线性对流项,使得研究时需要更多的理论分析和数值计算,如何获得高次情形下方程的非线性波解、分支参数和分支曲线,以及如何处理方程对应行波系统中的奇性也很困难.我们利用适当的行波变换和时间尺度变换将奇异行波系统转化为一个正则系统,通过动力系统分支理论和数值方法来研究了正则系统的向量场及分支相图,再根据所作变换和正则系统的性质可得奇异行波系统的相轨线分支,最后利用相轨线探讨了该方程非线性波解的分支行为及其动力学特征,并给出了这些解的表达式.本文的主要结果如下.1.当b=0时,得到了方程对应奇异行波系统与正则行波系统所确定向量场的关系,通过相图分析发现了一些新的现象,如在特定参数情形下行波系统有无穷多闭轨道穿过奇直线并相交于两点;某些同宿轨内部没有奇点等.通过理论分析,揭示了特定情形下方程存在三种分支现象,包括孤立波与周期波、孤立波与爆破波以及双孤立波的分支.2.当b>1,k=0时,通过数值方法确定了方程所对应行波系统的分支参数以及分支曲线,得到了孤立尖波解与反孤立尖波解的分支波速,以及n为偶数时孤立尖波的最大波速,建立了不同参数条件下方程对应正则行波系统的相图分支,进一步揭示了多种非线性波解之间的关系,推广和改进了前人的某些相关结果.3.利用动力系统分支方法在b=0、b>1、b<-1三种情形下得到了方程多个非线性波解的表达式.当b=0时,给出了孤立波解、周期波解和爆破波存在的参数条件及其表达式;当b>1时,得到了孤立尖波解、反孤立尖波解、光滑孤立波和光滑周期波解的显式表达式或隐式表达式;当b<-1时,给出了周期波解存在存在的参数条件及其隐式表达式.本文主要内容分为五个部分,第一章是绪论,综述了非线性波方程和孤立波的发展历史、研究现状、主要的研究方法及某些结果,并简单介绍了本文所用到的相关理论和方法.第二章至第四章分别研究了高次b方程在b=0、b>1、b<-1三种情形下的非线性波解与分支问题,并揭示了多个非线性波解之间的关系.最后一部分是对本文研究结果进行了总结,并提出了值得进一步探索的问题.
申亚丽[5]（2019）在《非线性局域波及其动力学分析》文中研究表明随着非线性科学的不断发展,大量新的非线性系统在各个学科不断涌现,利用计算机大容量、高速度的特点,借助精确的符号计算,建立适合于所考虑问题的构造性研究算法,在计算机上实现若干非线性问题研究成果的机械化输出和非线性现象的可视化模拟,仍然是数学机械化发展的主要方向.本文以若干非线性系统为研究对象,借助符号计算系统Maple,展开非线性局域波求解方法及其动力学性质的研究.主要工作包括如下四部分:第一部分,结合Hirota双线性方法对原Backlund变换方法进行修正,给出了构造广义双线性Backlund变换以及利用广义双线性Backlund变换构造非线性局域波的算法,利用该算法研究了三个高维的重要数学物理模型.给出了它们的双线性形式,研究广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系,构造了它们的广义双线性Backlund变换,获得了它们的若干非线性局域波解.第二部分,从Lax方程和零曲率方程出发,编制了 Lax对的自动验证软件包Laxpairtest.基于验证正确的Lax对,构造了一个新近提出的重要的非局部非线性可积系统AB-NLS的n阶Darboux变换,进而通过Darboux变换获得了该系统的1-孤子和2-孤子解.给出了解的三维演化图,分析了其动力学行为.最后,根据Jacobi椭圆函数构建了 AB-NLS系统的周期解.第三部分,将一个新的辅助二次函数的解和双线性变换有机结合,构造获得了高维非线性系统,即4+1维Fokas方程新的lump解;分析了解在不同参数条件下呈现的亮lump波和暗lump波;结合极值理论讨论了 lump波的动力学性质,获得了不同情形下lump波的振幅极值和极值点.进而,提出一种新的符号计算方法,利用该方法研究获得了两个高维非线性系统的带有控制中心的高阶怪波解,分析了解的渐近行为.该方法可直接有效地为高阶怪波的构造提供新的思路.第四部分,综合多种经典方法并结合一些新方法,首次研究获得了带源KdV方程众多非线性局域波解;利用经典Lie群对称法,并借助符号计算系统Maple首次得到了该方程的对称群,基于群不变理论,获得该方程的群不变解;最后,利用Painleve截断展开方法综合研究了该方程的Painleve性质,获得了其Laurent展开形式的解.在得到的三个分支中,通过截断展开式,获得KdV-SCS方程的Backlund变换。
武泽平[6]（2019）在《一类变形Boussinesq耦合方程组的行波解》文中指出现实世界中的很多现象本质都可以由非线性方程来描述,特别是非线性微分方程,在近现代自然,人文科学的快速发展中有着举足轻重的地位.自上世纪60年代人们通过对孤立波的研究发现大量可积系统以来,物理学家和应用数学家开始积极投入到非线性波方程的精确解和定性分析的研究中.本文的主要工作属于该研究领域.我们将运用动力系统分支理论来研究一类变形Boussinesq耦合方程组的孤立波解.与雅可比椭圆函数展开,F-展开,以及次平衡等经典方法相比,动力系统分支法一个突出的优势就是,人们可以运用它得到相应方程的行波解动力学相图,再结合相图分析所对应的参数分类和经典的椭圆函数展开等方法,我们可以得到较为全面而丰富的孤立波解,三角函数解,扭波解,周期波解等精确解,而不用像一些传统方法需要大量的计算才能得到部分精确解.本文的主要结构如下:第一章主要内容是简介孤立波研究背景及非线性偏微分方程行波解的一些经典求解方法;第二章主要介绍保守系统,相图的画法以及椭圆函数等基本概念和结果,第三章利用第二章中介绍的方法对变形Boussinesq方程组的行波解进行较为全面的分析和求解.
佘桂林[7]（2015）在《功能梯度材料梁中非线性波的传播特性研究》文中研究指明梁是工程应用中常见的结构。土木工程中和机械工程中的许多结构都可以将其抽象成杆或梁。由于功能梯度材料具有独特的力学性能,在工程应用中得到了广泛的应用,本文研究了功能梯度材料梁杆结构中非线性波的传播特性,为工程应用提供理论基础。本文共分为五章,第一章是引言部分,对课题的背景、研究现状、发展趋势做了简要概括。第二章介绍了非线性波传播的基本原理和研究方法。第三章是全文的核心部分,在这一章中研究了FGM梁中非线性弯曲波的传播特性。第四章研究了FGM梁的非线性热弹性波的传播特性。得到了一些有价值的参考结果和结论。本文的主要研究内容和取得的成果如下:（1）确定了功能物性参数遵循幂函数规律的FGM梁的中性轴的位置,研究了两种不同材料的弹性模量、功能梯度指数参数对梁中性轴位置的影响规律。两种材料的弹性模量、梯度参数对中性轴的位置的影响显着。中性轴的确定为使用不分层梁理论分析计算提供了必要的条件。（2）应用哈密顿变分原理和欧拉方程建立了FGM梁的非线性波动方程。采用行波变换法、雅可比椭圆函数展开方法求出了非线性波动方程的周期解、孤波解和位移波解。分析了不同的非线性波速、功能梯度指数参数N对周期波、孤立波的波幅和波的宽度的影响规律。数值分析表明,这些因素对弯曲波的波幅、波的宽度影响显着,探究了非线性的频散关系,非线性因素对非线性频散关系曲线的形状影响不大,但对非线性频散关系的表达式影响较大。（3）在热弹性理论的基础上,应用哈密顿变分原理建立了FGM梁热力耦合下的非线性波动方程。研究了热力耦合下FGM梁中非线性波的传播特性,探究了稳定温度场下材料物质性能参数变化对弯曲波的幅值和波的宽度的变化的影响规律。所得结论对FGM梁中非线性波的研究具有理论参考价值,同时为无损伤检测提供了理论指导。
套格图桑[8]（2011）在《论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进》文中进行了进一步梳理1834年8月,英国科学家罗素发现了孤立波自然现象.1895年,荷兰阿姆斯特丹大学的数学家德弗里斯（G.de Vries）在导师柯特维格（D.J.Korteweg）的指导下,研究单方向运动的浅水波时,建立了描述罗素孤立波现象的数学模型KdV方程,从理论上肯定了孤立波解的存在性.1955年,美国物理学家费米（Enrico Fermi）,帕斯塔（John Pasta）和犹拉姆（Stan Ulam）提出的着名的FPU问题,对于发现孤立子提供了第一个实验依据.1965年,美国Princeton大学应用数学家扎布斯基（N.J.Zabusky）和实验室的克鲁斯卡尔（M.D.Kruskal）发现了FPU问题中弦的位移满足KdV方程,而且他们通过计算机模拟重现了孤立波相互作用时表现出类此于粒子的性质,并由此提出“孤立子”的概念.孤立子概念的提出证明了孤立波解的稳定性.最近50多年来,人们利用计算机技术,在非线性光学中发现光孤子并应用于通信领域取得了成功.生物学中发现了达维多夫（Davydov）孤立子,海洋学中发现了内孤立波.另外,在凝聚态物理、激光物理、超导物理、经济学、人口问题和医学等诸多科学领域中相继发现了光滑孤立子解、尖峰孤立子解和紧孤立子解等多种孤立子.孤立子理论的研究内容大致分为以下两类.（1）构造系统的求解方法：即构造和发展求解非线性方程的一种系统的方法.这里指的非线性方程包括非线性偏微分方程,非线性常微分方程,非线性积分微分方程和非线性差分微分方程.对于许多非线性发展方程,已经有了多种有效的求解方法,但是没有一种通用的方法.（2）解释解的性质：研究解释可积方程的代数和几何的一系列美妙的性质.这里所说的可积方程是能够转化成线性方程的非线性方程.对于研究解的性质方面一般有如下三个情况.第一种情况：当难以获得显示精确解时,分析研究非线性发展方程的适定性问题；第二种情况：利用计算数学的理论知识和计算机,对解进行模拟分析研究；第三种情况：利用试探法和构造变换法等数学技巧,获得非线性发展方程的精确解.虽然以上三种研究方法的角度不同,但是目的都是解释解的变化规律.数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展,以及与社会政治、经济和一般的文化的联系.1974年,吴文俊开始研究中国数学史.他在“古证复原”原则下,利用“反辉格”与“中西方数学对比”相结合的综合性方法来研究中国传统数学,揭开了中国数学的构造性和机械化性两个特点.在此基础上与计算机技术相结合发明了着名的“吴消元法”.吴文俊的工作成就是“古为今用”的典范.他提出的“新方法论”对于数学史和数学研究工作来说具有指导性和启发性作用.构造非线性发展方程的精确解是孤立子理论的重要研究课题之一.试探函数法与辅助方程法在构造非线性发展方程精确解领域发挥了非常重要的作用,已经获得了许多新成果.本文从“吴消元法”的发明得到启示,利用“新方法论”对2009年以前的辅助方程法和试探函数法有关的大量文献进行认真比较和仔细分析研究,获得了这两种方法的构造性和机械化性.在第四章中总结了试探函数法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,提出了新的试探函数法,构造了非线性连续（离散）发展方程新的精确解.在第五章中首先通过对Riccati方程法等辅助方程法有关的大量文献进行研究,梳理了辅助方程法的思想基础和来源问题,总结了辅助方程法的四个应用步骤体现了该方法的构造性和机械化性两大特点.在此基础上,初步发挥辅助方程法的两大特点,提出了三角函数型辅助方程法与双曲函数型辅助方程法等新的方法,构造了非线性发展方程的新精确解.（1）把非线性发展方程转化为非线性常微分方程的变换具有构造性.（2）辅助方程与非线性常微分方程的形式解具有构造性.（3）非线性方程组的求解问题具有机械化性.（4）非线性发展方程解的验证具有机械化性.理论上说：《非线性发展方程存在无穷多个解》.但是,辅助方程法有关的诸多博士（硕士）学位论文以及相关的文献只获得了有限多个精确解.本文为了获得非线性发展方程的无穷序列精确解,挖掘辅助方程法的两大特点的含义获得了Riccati方程、第一种椭圆辅助方程、第二种椭圆辅助方程等几种常用辅助方程的自Backlund变换、拟Backlund变换和解的非线性叠加公式,构造了连续（离散）和变系数（常系数）非线性发展方程的多种类型的无穷序列新精确解.（1）单函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数单独构成的无穷序列新精确解.这里包括无穷序列光滑孤立波解、无穷序列尖峰孤立波解和尤穷序列紧孤立子解.本文不仅获得了K（m,n）方程、Degasperis-Procesi方程和CH方程的无穷序列尖峰孤立波解和无穷序列紧孤立子解,而目.其他的非线性发展方程中也获得了此类精确解.（2）复合函数型无穷序列精确解.就是Jacobi椭圆函数、双曲函数、三角函数和有理函数通过几种形式复合而成的无穷序列精确解.这里包括光滑孤立波解、尖峰孤立波解和紧孤立子解通过几种形式复合而成的无穷序列新精确解.
张涛[9]（2010）在《非线性固体结构中的孤立波与混沌》文中认为20世纪60年代,自然科学的各个学科分支出现了非线性问题的研究热潮,孤子、湍流、混沌、分形及复杂系统等新的物理现象被揭示,表明非线性科学已经成为现代科学发展的一个重要标志。在这一热潮推动下,固体结构中的非线性波的传播和混沌运动的研究也取得了很大进展。本文在综述已有研究的基础上,研究了几类典型结构元件中孤立波的传播特征和混沌行为,主要工作和成果如下:1.在Bernoulli-Euler梁、Rayleigh修正梁和Timoshenko梁三种经典梁理论的基本方程中,引入有限挠度和轴向惯性,导出了相应的支配弯曲波传播的非线性偏微分方程组。对这些方程进行了定性分析,并采用Jacobi椭圆函数展开法进行求解,给出了精确的周期解及模数m→1退化情况下的孤立波解和冲击波解。2.在上述三类有限挠度梁的运动方程中引入外加载荷和阻尼对系统的摄动,利用Melnikov方法给出了出现Smale马蹄意义下混沌的临界条件,揭示了孤立波与混沌两大类非线性现象之间的联系。3.研究了埋置于弹性地基内充液压力管道中非线性波的传播。假定管壁材料是线弹性的,管中流体为不可压理想流体,地基反力采用Winkle线性地基模型,建立了地基、管壁与流体耦合作用的非线性运动方程组,借助约化摄动法（RPT）得到KdV方程,表征着系统有孤波解。4.研究了充有压力流体的粘弹性管中孤立波的传播特性。管壁是由Kelvin-Voigt模型描述的粘弹性材料,流体的运动为一维无粘流动,利用约化摄动法（RPT）从支配耦合系统运动的非线性偏微分方程组得到了KdV-Burgers方程。根据粘性大小的不同,系统有振荡的孤波解或冲击波解,并利用数值解给出其传播的图象。5.考虑血液流动的对流项及血管壁的大变形,采用二维情况下Hilmi Demiray建议的管壁材料的应变能函数,研究了动脉血管中非线性压力波的传播。在长波近似情况下,借助约化摄动法（RPT）得到具有孤子解的KdV方程。从临床角度讨论了参数对解的影响。6.对于轴压圆柱壳经受轴向和横向扰动时的非线性振动,分别采用Donnell-Kármán大挠度理论和环向对数应变建立了两种非线性运动方程。借助Bubnov-Galerkin法将它们分别转化为含有三次和二次非线性的常微分方程。利用次谐轨道和同宿轨道的Melnikov函数给出了前屈曲和后屈曲情况下发生Smale马蹄混沌的临界条件。使用Matlab软件计算了分岔图、相图、时程曲线和poincaré映射,给出了混沌运动的数字特征。
张纬民[10]（2009）在《若干非线性波方程的构造性求解研究》文中提出众所周知非线性科学成为当代科学研究重要的前沿领域。近几十年来,随着科学技术的不断发展,各种非线性问题日益引起科学家和工程技术人员的兴趣和重视。特别是在近代物理和科学工程计算中的一些关键问题,归根结底都依赖于某些特定的非线性方程的求解。所以无论在理论研究方面,还是在实际应用中,非线性方程的求解都占有非常重要的地位。非线性方程的求解已成为广大科学工作者经常面临的问题。但构造非线性微分方程的解是既重要又困难的课题,需要灵活高效的数学工具。近年来,国内外的研究者在求解非线性微分方程方面做了大量的工作,获得了很多成果。本文在前人研究的基础上,构造性求解一些在科学和工程上具有重要意义的非线性波问题。本文研究内容主要包括第一章介绍了非线性波动方程构造性理论求解的研究背景、研究进展、发展现状和意义,总结并分析了现有的求解非线性波动方程的方法。第二章我们首先对DBM方程和Log—DBM方程作了简介,对WazWaz所提出的扩展的Tanh方法作了改进,扩大了其使用范围,并用改进后的Tanh方法研究了Log—DBM方程,得到了Log—DBM的丰富的行波解,包括周期波解,奇异孤立波解、双尖峰孤立波解,奇异周期孤立波解。用辅助函数得到了Log—DBM方程的Jacobi椭圆函数解;用拟设法研究了Log-DBM方程的类紧（Like-compact）孤立波解。第三章利用扩展的Jacobi椭圆函数展开法研究了（ZK-MEW）方程,并给出ZK-MEW方程的Jacobi椭圆函数解,特别的,当模数m→0和m→1时,其中一部分解退化为三角函数解和孤立波解;其次使用sn-cn拟设法,研究了K（k,s,1）方程,得到了k=s=3时的新的精确解,并在模数m→0和m→1时得到了丰富的三角函数和孤立波解。第四章将Painleve奇性分析方法应用到带阻尼（damping）项的变系数Burgers方程中,并得到了该类Burgers方程具有Painleve性质的条件,给出了该类Burgers方程的Backlund变换,用所得Backlund变换得到了若干精确孤立波解,包括奇异孤立波解,这些解不等同于行波型孤立波解;用齐次平衡法得到了对数型DBM方程的Backlund变换,并获得了DBM方程的各种孤立波解,包括尖峰孤立波解和奇异尖峰孤立波解。第五章利用Lie群分析法研究了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程。众所周知对称性约化是寻找和分析非线性数学物理方程精确解的有效手段之一。基于Lie群思想的群论法是对称性约化的主要方法。在这一章里,我们用Lie群分析法研究了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程。首先介绍了Lie群分析法的基本思想,其次用Lie群分析法得到了带线性阻尼项的变系数广义Burgers方程的无穷小变换、无穷小算子的李代数结构,并具体求出了带线性阻尼项的变系数广义Burger方程的群不变解和约化方程。在第六章,我们将指数函数法（Exp-function method）应用到一类变系数非线性波方程中,借助计算软件Maple得到了组合变系数KdV-mKdV方程的广义孤立波解。通过研究,我们可以看出指数函数法在研究变系数非线性方程时有其明显的优点,算法简单,并在适当的变换下可得到周期波、奇异波、奇异周期波解和类紧解。第七章是对研究内容的总结和展望。
二、非线性振动、非线性波与Jacobi椭圆函数（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、非线性振动、非线性波与Jacobi椭圆函数（论文提纲范文）
（1）关于几类非线性波方程的精确行波解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子理论的发展历史 |
| 1.2 非线性波方程的求解方法简介 |
| 1.3 本文主要工作及研究成果 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 微分方程与动力系统 |
| 2.2 行波解的几种类型 |
| 2.3 奇非线性波方程的动力系统方法 |
| 第三章 广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 系统(3.21)的相图分支 |
| 3.2.1 g_1=0的情形 |
| 0的情形'>3.2.2 g_1>0的情形 |
| 3.3 系统(3.21)的行波解分类及其精确表达式 |
| 3.3.1 系统(3.21)的光滑孤立波解和伪孤立尖波解 |
| 3.3.2 系统(3.21)的孤立尖波解和反孤立尖波解 |
| 3.3.3 系统(3.21)的周期尖波解 |
| 3.3.4 系统(3.21)的破缺波解 |
| 3.3.5 系统(3.21)的光滑周期波解 |
| 3.4 本章小结 |
| 第四章 旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 系统(4.7)的相图分支 |
| 4.2.1 f(Φ)有一个单根的情形 |
| 4.2.2 f(Φ)有一个重根的情形 |
| 4.2.3 f(Φ)有三个单根的情形 |
| 4.2.4 特殊情形a_0=0 |
| 4.3 系统(4.7)的行波解分类及其精确表达式 |
| 4.3.1 系统(4.7)的光滑周期波解和周期尖波解 |
| 4.3.2 系统(4.7)的孤立波解、周期尖波解和孤立尖波解 |
| 4.3.3 系统(4.7)的光滑孤立波解和破缺波解 |
| 4.4 本章小结 |
| 第五章 非局域流体动力学方程的分支和精确行波解 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 系统(5.4)的相图分支 |
| 5.2.1 系统(5.4a)的相图分支 |
| 5.2.2 系统(5.4b)的相图分支 |
| 5.3 系统(5.4)的行波解分类及其精确表达式 |
| 5.3.1 系统(5.4)的光滑孤立波解和周期波解 |
| 5.3.2 系统(5.4)的周期尖波解和伪孤立尖波解 |
| 5.3.3 系统(5.4)的破缺波解 |
| 5.3.4 系统(5.4)的不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解 |
| 5.4 本章小结 |
| 第六章 分数阶mKdV方程的分支和精确行波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 系统(6.7)的相图分支 |
| 6.3 系统(6.7)的行波解分类及其精确表达式 |
| 6.3.1 系统(6.7)的光滑周期波解 |
| 6.3.2 系统(6.7)的扭波和反扭波解 |
| 6.3.3 系统(6.7)的孤立波解 |
| 6.4 本章小结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
（2）基于温度效应的无限长压电圆杆孤波分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景及研究意义 |
| 1.1.1 选题的理论背景 |
| 1.1.2 研究的意义 |
| 1.2 压电材料的发展和压电方程简介 |
| 1.3 孤立子类型和求解方法简介 |
| 1.4 国内外研究现状 |
| 1.5 本文主要研究内容、创新点 |
| 第2章 无限长压电圆杆热电弹耦合的基本方程 |
| 2.1 Lagrange(拉格朗日)方程及Hamilton(哈密顿)变分原理 |
| 2.2 基本方程的建立 |
| 2.3 本章小结 |
| 第3章 Jacobi椭圆函数求解波动方程 |
| 3.1 谐波平衡法 |
| 3.2 Jacobi椭圆函数法 |
| 3.3 本章小结 |
| 第4章 扩展的Sinh-Gordon法及对波动方程求解 |
| 4.1 Sinh-Gordon方法发展简介 |
| 4.2 扩展的Sinh-Gordon法 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 总结与展望 |
| 5.1 全文内容总结 |
| 5.2 未来展望 |
| 参考文献 |
| 附录Ⅰ Jacobi椭圆函数及其公式 |
| 1.定义 |
| 3.常微分方程 F'~2=PF~4+QF~2+R中的(P,Q,R)值及对应的F(ξ) |
| 4.模数m→1和m→0时Jacobi椭圆函数的极限 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文 |
| 致谢 |
（4）高次b方程的非线性波解与分支问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立子的发现及其研究现状 |
| 1.2 非线性波方程求解方法概述 |
| 1.3 辅助知识 |
| 1.3.1 平面系统定性理论 |
| 1.3.2 动力系统分支方法 |
| 1.3.3 双曲函数与椭圆函数 |
| 1.4 本文主要工作 |
| 第二章 当b=0时,高次b方程孤立波解与周期波解 |
| 2.1 主要结论 |
| 2.1.1 n=2v时孤立波解与周期波解 |
| 2.1.2 n＝2v+1时孤立波解与周期波解 |
| 2.2 命题2.1-2.4的证明 |
| 2.2.1 预备工作 |
| 2.2.2 孤立波和周期波的存在性及其表达式 |
| 2.2.3 性质A、B、C的证明 |
| 2.3 命题2.5-2.7的证明 |
| 2.3.1 预备工作 |
| 2.3.2 孤立波和周期波的存在性及其隐式解 |
| 2.4 本章小结 |
| 1时,高次b方程行波解及其分支研究'>第三章 当b>1时,高次b方程行波解及其分支研究 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 主要结论的证明 |
| 3.2.1 行波系统与首次积分 |
| 3.2.2 奇点与分支曲线 |
| 3.2.3 分支相图 |
| 3.2.4 行波解的表达式 |
| 3.3 本章小结 |
| 4.1 主要结论 |
| 4.2 主要结论的证明 |
| 4.2.1 预备工作 |
| 4.2.2 周期波解及其表达式 |
| 4.3 本章小结 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间取得的研究成果 |
| 致谢 |
| 附件 |
（5）非线性局域波及其动力学分析（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 非线性局域波及其动力学研究 |
| 1.2 非线性局域波的求解方法及其研究 |
| 1.3 符号计算在非线性可积系统中的应用 |
| 1.4 本文的选题和主要工作 |
| 第2章 广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.1 广义双线性Backlund变换与非线性局域波的关系及其构造算法研究 |
| 2.2 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.2.1 3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.2.2 3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.3 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.3.1 广义3+1维非线性波方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.3.2 广义3+1维非线性波方程的非线性局域波 |
| 2.4 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换及非线性局域波 |
| 2.4.1 4+1维Fokas方程的广义双线性Backlund变换 |
| 2.4.2 4+1维Fokas方程的非线性局域波 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 Darboux变换及非线性局域波 |
| 3.1 Lax对与可积系统关系的符号计算算法研究及其实现 |
| 3.1.1 Laxpairtest程序包 |
| 3.1.2 Laxpairtest程序包应用实例 |
| 3.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.2.1 AB-NLS方程 |
| 3.2.2 AB-NLS方程的Darboux变换 |
| 3.3 AB-NLS方程的非线性波 |
| 3.3.1 AB-NLS方程的1-孤子解 |
| 3.3.2 AB-NLS方程的2-孤子解 |
| 3.4 AB-NLS方程的周期解 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 高维非线性系统的lump解及其动力学分析 |
| 4.1 4+1维Fokas方程的lump解 |
| 4.2 4+1维Fokas方程lump解的动力学分析 |
| 4.3 本章小结 |
| 第5章 高维非线性系统的高阶怪波及其演化 |
| 5.1 一个新的符号计算方法 |
| 5.2 3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.3 广义3+1维非线性波方程的高阶怪波及其演化 |
| 5.4 本章小结 |
| 第6章 KdV-SCS方程的若干非线性局域波解 |
| 6.1 KdV-SCS方程的双曲函数解 |
| 6.2 KdV-SCS方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 6.3 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法 |
| 6.3.1 (G'/G)-扩展法 |
| 6.3.2 KdV-SCS方程的(G'/G)-扩展法的应用 |
| 6.4 KdV-SCS方程的群不变解 |
| 6.5 KdV-SCS方程的Painleve性质 |
| 6.6 本章小结 |
| 第7章 总结与展望 |
| 7.1 总结 |
| 7.2 展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间的科研成果 |
（6）一类变形Boussinesq耦合方程组的行波解（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 孤立波 |
| 1.2 行波解求解 |
| 1.2.1 Jacobi椭圆函数展开法 |
| 1.2.2 F-展开法 |
| 1.2.3 动力系统分支方法 |
| 1.3 本文主要工作 |
| 第二章 预备知识 |
| 2.1 保守系统及相图分析 |
| 2.1.1 轨道分布 |
| 2.1.2 奇点与势能函数的关系 |
| 2.1.3 轨线的全局分布与势能函数的关系 |
| 2.2 KdV方程孤波解 |
| 2.3 Jacobi椭圆函数 |
| 第三章 非线性波方程的行波解 |
| 3.1 特殊情况 |
| 3.1.1 相图分支 |
| 3.1.2 主要精确解 |
| 3.2 一般情况 |
| 3.2.1 相图分支 |
| 3.2.2 主要精确解 |
| 参考文献 |
| 后记和致谢 |
（7）功能梯度材料梁中非线性波的传播特性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题背景 |
| 1.1.1 功能梯度材料介绍 |
| 1.1.2 波动理论介绍 |
| 1.2 固体中波传播的研究现状 |
| 1.2.1 固体中波传播的研究发展历程 |
| 1.2.2 功能梯度材料中的波传播 |
| 1.3 本文的主要研究内容 |
| 1.4 本文的创新点 |
| 第2章 分析模型与研究的基本方法 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 线性波与非线性波 |
| 2.3 非线性因素的描述 |
| 2.4 梁中的非线性弯曲波 |
| 2.5 哈密顿变分原理 |
| 2.6 雅可比椭圆函数展开方法 |
| 2.7 弥散特性与非线性波的弥散 |
| 2.8 本章小结 |
| 第3章 FGM梁中非线性波的行波解与传播特性研究 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 非线性波动方程的建立 |
| 3.2.1 中性轴位置的确定 |
| 3.2.2 能量法导出波动方程 |
| 3.2.3 系数Ji、Ii（i=1,3）的确定 |
| 3.3 非线性波动方程的求解 |
| 3.4 数值分析 |
| 3.5 非线性频散关系 |
| 3.6 本章小节 |
| 第4章 FGM梁中非线性热弹性波的研究 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 热弹性非线性波动方程的建立 |
| 4.3 非线性波动方程的求解 |
| 4.4 算例 |
| 4.5 本章小结 |
| 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 附录A 攻读硕士学位期间所发表的学术论文目录 |
（8）论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 研究数学史的新方法论 |
| §1.2 吴方法和吴消元法的发明 |
| §1.3 吴消元法与非线性发展方程的求解方法 |
| §1.4 本文的主要工作 |
| 第二章 概述吴消元法的发明历史 |
| §2.1 曲折的数学之路(1919年—1945年) |
| §2.2 吴文俊与拓扑学(1945年—1958年) |
| §2.3 研究"对策论"的中国第一人(1958年—1974年) |
| §2.4 吴文俊与研究数学史的新方法论(1974年—) |
| §2.5 简单回顾发明计算机的历史 |
| §2.6 简单回顾西方数学机械化思想的发展历史 |
| §2.7 吴文俊与数学机械化纲领(1976年—) |
| 第三章 简述建立孤子方程求解方法历史与孤立子理论的研究意义 |
| §3.1 简单回顾孤立子理论建立历史上的几件大事 |
| §3.2 概述非线性发展方程求解方法发展历史(1967年—现在) |
| §3.3 孤立子理论的研究意义 |
| 第四章 试探函数法的两大特点与非线性差分微分方程的新精确解 |
| §4.1 试探函数法的两大特点 |
| §4.2 试探函数法的扩展应用 |
| 第五章 辅助方程法的发展历史研究 |
| §5.1 "辅助方程法"思想 |
| §5.2 Riccati方程法与非线性发展方程的精确解 |
| §5.3 辅助方程法的思想基础与来源 |
| §5.4 辅助方程法两大特点与非线性发展方程的新精确解 |
| 第六章 辅助方程法的两大特点与非线性发展方程的无穷序列新精确解 |
| §6.1 辅助方程法两大特点的进一步研究 |
| §6.2 Riccati方程法的新应用 |
| §6.3 第二种椭圆辅助方程法的新应用 |
| §6.1 第二种椭圆辅助方程与Riccati方程相结合的方法与应用 |
| §6.5 三角函数型轴助方程法与双曲函数型辅助方程法的新应用 |
| §6.6 几种辅助方程的Backlund变换及其应用 |
| §6.7 第一种椭圆辅助方程与非线性发展方程的新类型无穷序列精确解 |
| §6.8 辅助方程法的发展阶段 |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间获得的研究成果 |
| 致谢 |
（9）非线性固体结构中的孤立波与混沌（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 孤波的研究背景 |
| 1.3 混沌的研究现状 |
| 1.4 研究方法 |
| 1.5 本文的主要工作 |
| 第二章 三类有限挠度梁中的孤波与混沌运动 |
| 2.1 梁中的非线性弯曲波 |
| 2.1.1 支配方程 |
| 2.1.2 行波解法及方程的简化 |
| 2.1.3 定性分析 |
| 2.1.4 Jacobi 椭圆函数展开求解 |
| 2.1.5 对三类梁方程解的讨论 |
| 2.1.6 结论 |
| 2.2 非线性弯曲波摄动后的混沌行为 |
| 2.2.1 Timoshenko 梁的运动方程及其简化 |
| 2.2.2 Melnikov 函数求解 |
| 2.2.3 Rayleigh 修正梁 |
| 2.2.4 Bernoulli-Euler 梁 |
| 2.2.5 结果与讨论 |
| 第三章 充液(粘)弹性管中的非线性波 |
| 3.1 埋置于弹性地基内充液压力管道中的非线性波 |
| 3.1.1 支配方程 |
| 3.1.2 方程的综合及其求解 |
| 3.1.3 结论与讨论 |
| 3.2 充液粘弹性薄管中的非线性波 |
| 3.2.1 支配方程 |
| 3.2.2 行波解 |
| 3.2.3 结果与讨论 |
| 3.3 内充预压流体的弹性薄管中的孤立波 |
| 3.3.1 支配方程 |
| 3.3.2 方程的变换、综合及其求解 |
| 3.3.3 结果与讨论 |
| 3.4 动脉血管中非线性压力波的传播 |
| 3.4.1 固液耦合系统运动的支配方程 |
| 3.4.2 约化摄动法求解非线性动力学方程组 |
| 3.4.3 结果与讨论 |
| 第四章 轴压圆柱壳经受扰动时的非线性振动 |
| 4.1 圆柱壳的轴向动力屈曲、参数共振与轴向微扰下的混沌运动 |
| 4.1.1 圆柱壳轴向动力屈曲 |
| 4.1.2 参数共振 |
| 4.1.3 大挠度圆柱壳轴向微扰下的混沌行为 |
| 4.1.4 结果与讨论 |
| 4.2 轴压弹性圆柱壳径向微扰下的混沌行为 |
| 4.2.1 支配方程 |
| 4.2.2 定性分析 |
| 4.2.3 临界条件 |
| 4.2.4 数值模拟 |
| 4.2.5 结果与讨论 |
| 第五章 全文总结 |
| 5.1 全文总结 |
| 5.2 进一步工作建议 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读硕士学位期间发表过的论文 |
（10）若干非线性波方程的构造性求解研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究进展 |
| 1.3 研究方法介绍 |
| 1.3.1 直接代数法 |
| 1.3.2 Painleve可积性 |
| 1.3.3 Lie群与对称约化 |
| 1.4 本文的研究意义 |
| 第二章 非线性波方程的奇异和周期孤立波解 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 DBM方程和LOG-DBM方程 |
| 2.3 改进的扩展TANH方法及其在LOG-DBM方程中的应用 |
| 2.3.1 改进的扩展Tanh方法 |
| 2.3.2 改进的扩展Tanh方法在DBM方程和Log-DBM方程中的应用 |
| 2.4 辅助函数法及其在LOG-DBM方程中的应用 |
| 2.4.1 辅助函数法与第一类椭圆积分 |
| 2.4.2 辅助函数法在DBM方程和Log-DBM方程中的应用 |
| 2.5 LOG-DBM方程的类紧和SOLITARY PATTERNS-LIKE解 |
| 2.6 强色散DGH方程的类紧和SOLITARY PATTERNS-LIKE解 |
| 2.6.1 引言 |
| 2.6.2 广义强色散DGH方程的类紧和solitary patterns-like解 |
| 2.7 本章总结 |
| 第三章 非线性波方程的Jacobi椭圆函数解 |
| 3.1 扩展的JACOBI椭圆函数展开法 |
| 3.2 ZK-MEW方程 |
| 3.2.1 当Y=Y(ξ)=snξ=sn(ξ,m)时 |
| 3.2.2 当Y=Y(ξ)=dnξ=dn(ξ,m)时 |
| 3.2.3 当Y=Y(ξ):cnξ=cn(ξ,m)时 |
| 3.3 SN-CN法及K(M,N,1)方程新的紧致和非紧致解 |
| 3.3.1 sn-cn法 |
| 3.3.2 K(m,n,1)方程 |
| 3.4 本章总结 |
| 第四章 非线性波方程的Painleve分析、齐次平衡法与Backlund变换 |
| 4.1 Painleve分析的基本理论 |
| 4.2 带阻尼项的变系数(1+1)维BURGERS方程PAINLEVE分析 |
| 4.2.1 Painleve可积性 |
| 4.2.2 Backlund变换 |
| 4.2.3 精确孤立波解 |
| 4.3 DBM方程的齐次平衡法与BACKLUND变换 |
| 4.4 本章总结 |
| 第五章 带线性阻尼项的变系数广义Burger方程的Lie群分析 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 带线性阻尼项的变系数广义BURGER方程的LIE对称群 |
| 5.3 相似变量与约化方程 |
| 5.4 本章总结 |
| 第六章 指数展开法与广义孤立波解 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 指数函数法的介绍 |
| 6.3 变系数组合KDV-MKDV方程的广义孤立波解与周期解 |
| 6.4 本章总结 |
| 第七章 总结和展望 |
| 参考文献 |
| 攻研期间的研究成果 |
| 致谢 |
四、非线性振动、非线性波与Jacobi椭圆函数（论文参考文献）
- [1]关于几类非线性波方程的精确行波解研究[D]. 梁建莉. 浙江师范大学, 2021(02)
- [2]基于温度效应的无限长压电圆杆孤波分析[D]. 陈琼. 中北大学, 2021(09)
- [3]含电学边界的压电层合梁的非线性弯曲波[J]. 赵希宁,杨晓东,张伟. 力学学报, 2021(04)
- [4]高次b方程的非线性波解与分支问题研究[D]. 杨佼朋. 华南理工大学, 2020(05)
- [5]非线性局域波及其动力学分析[D]. 申亚丽. 陕西师范大学, 2019(01)
- [6]一类变形Boussinesq耦合方程组的行波解[D]. 武泽平. 吉林大学, 2019(01)
- [7]功能梯度材料梁中非线性波的传播特性研究[D]. 佘桂林. 湖南大学, 2015(03)
- [8]论非线性发展方程求解中辅助方程法的历史演进[D]. 套格图桑. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [9]非线性固体结构中的孤立波与混沌[D]. 张涛. 太原理工大学, 2010(03)
- [10]若干非线性波方程的构造性求解研究[D]. 张纬民. 江苏大学, 2009(10)
标签：椭圆函数论文; 线性系统论文; 非线性论文; 非线性光学材料论文; matlab函数论文;